Задача в геометрической прогресс ... 3/30 найдите значение b19 (на геометрическую прогрессию)

Вы ввели

в геометрической прогрессии с положительными членами b18=215/6, b20=43/30 найдите значение b19

Найдено в тексте задачи:

Первый член: b1 = ?

n-член bn (n = 19 + 1 = 20)

Знаменатель: q = ?

Другие члены: b18 = 215/6
b20 = 43/30

Пример: ?

Найти члены от 1 до 20

n-член

Двадцатый член

           -1 + n
b_n = b_1*q      

$$b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$$

       43
b_20 = --
       30

$$b_{20} = \frac{43}{30}$$

Первый член

b_1 = 164031982421875/6

$$b_{1} = \frac{164031982421875}{6}$$

Пример

...

Расширенный пример:

164031982421875/6; 32806396484375/6; 6561279296875/6; 1312255859375/6; 262451171875/6; 52490234375/6; 10498046875/6; 2099609375/6; 419921875/6; 83984375/6; 16796875/6; 3359375/6; 671875/6; 134375/6; 26875/6; 5375/6; 1075/6; 215/6; 43/6; 43/30...

b1 = 164031982421875/6

$$b_{1} = \frac{164031982421875}{6}$$

b2 = 32806396484375/6

$$b_{2} = \frac{32806396484375}{6}$$

b3 = 6561279296875/6

$$b_{3} = \frac{6561279296875}{6}$$

b4 = 1312255859375/6

$$b_{4} = \frac{1312255859375}{6}$$

b5 = 262451171875/6

$$b_{5} = \frac{262451171875}{6}$$

b6 = 52490234375/6

$$b_{6} = \frac{52490234375}{6}$$

b7 = 10498046875/6

$$b_{7} = \frac{10498046875}{6}$$

b8 = 2099609375/6

$$b_{8} = \frac{2099609375}{6}$$

b9 = 419921875/6

$$b_{9} = \frac{419921875}{6}$$

b10 = 83984375/6

$$b_{10} = \frac{83984375}{6}$$

b11 = 16796875/6

$$b_{11} = \frac{16796875}{6}$$

b12 = 3359375/6

$$b_{12} = \frac{3359375}{6}$$

b13 = 671875/6

$$b_{13} = \frac{671875}{6}$$

b14 = 134375/6

$$b_{14} = \frac{134375}{6}$$

b15 = 26875/6

$$b_{15} = \frac{26875}{6}$$

b16 = 5375/6

$$b_{16} = \frac{5375}{6}$$

b17 = 1075/6

$$b_{17} = \frac{1075}{6}$$

b18 = 215/6

$$b_{18} = \frac{215}{6}$$

b19 = 43/6

$$b_{19} = \frac{43}{6}$$

      43
b20 = --
      30

$$b_{20} = \frac{43}{30}$$

...

Знаменатель

q = 1/5

$$q = \frac{1}{5}$$

Сумма бесконечной прогрессии

         /                                   -n\
         |820159912109375   820159912109375*5  |
S =  lim |--------------- - -------------------|
    n->oo\       24                  24        /

$$S = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{820159912109375}{24} - \frac{820159912109375 \cdot 5^{- n}}{24}\right)$$

    820159912109375
S = ---------------
           24      

$$S = \frac{820159912109375}{24}$$

Произведение первых n-членов

               n
               -
               2
P_n = (b_1*b_n) 

$$P_{n} = \left(b_{1} b_{n}\right)^{\frac{n}{2}}$$

Произведение двадцати членов

                            10
      /                  43\  
P20 = |164031982421875/6*--|  
      \                  30/  

$$P_{20} = \left(\frac{164031982421875}{6} \cdot \frac{43}{30}\right)^{10}$$

      31208281071658220662945391384523002235289241112924051345194288885283989481002356385151431941389390988187609054550775145031593638123013079166412353515625
P20 = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                          3656158440062976                                                                    

$$P_{20} = \frac{31208281071658220662945391384523002235289241112924051345194288885283989481002356385151431941389390988187609054550775145031593638123013079166412353515625}{3656158440062976}$$

Сумма

    /    /     n\            
    |b_1*\1 - q /            
    |------------  for q != 1
S = <   1 - q                
    |                        
    |   b_1*n      otherwise 
    \                        

$$S = \begin{cases} \frac{b_{1} \cdot \left(1 - q^{n}\right)}{1 - q} & \text{for}\: q \neq 1 \\b_{1} n & \text{otherwise} \end{cases}$$

Сумма двадцати членов

      /                /     1 \\
      |164031982421875*|1 - ---||
      |                |     20||
      |                \    5  /|
      |-------------------------|
      \            6            /
S20 = ---------------------------
                1 - 1/5          

$$S_{20} = \frac{\frac{164031982421875}{6} \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{5}\right)^{20}\right)}{- \frac{1}{5} + 1}$$

S20 = 170866648356118/5

$$S_{20} = \frac{170866648356118}{5}$$