Задача Выписаны первые несколько ... сумму первых 5 её членов. (на геометрическую прогрессию)

Вы ввели

Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: -1024; -256; -64; … Найдите сумму первых 5 её членов.

Найдено в тексте задачи:

Первый член: b1 = -1024

n-член bn (n = 4 + 1 = 5)

Знаменатель: q = (-256)/(-1024)

Пример: -1024; -256; -64...

Найти члены от 1 до 4

Первый член

b_1 = -1024

$$b_{1} = -1024$$

Знаменатель

q = 1/4

$$q = \frac{1}{4}$$

Пример

-1024; -256; -64...

Расширенный пример:

-1024; -256; -64; -16...

b1 = -1024

$$b_{1} = -1024$$

b2 = -256

$$b_{2} = -256$$

b3 = -64

$$b_{3} = -64$$

b4 = -16

$$b_{4} = -16$$

...

n-член

Пятый член

           -1 + n
b_n = b_1*q      

$$b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$$

b_5 = -4

$$b_{5} = -4$$

Сумма бесконечной прогрессии

         /               -n\
         |  4096   4096*4  |
S =  lim |- ---- + --------|
    n->oo\   3        3    /

$$S = \lim_{n \to \infty}\left(- \frac{4096}{3} + \frac{4096 \cdot 4^{- n}}{3}\right)$$

S = -4096/3

$$S = - \frac{4096}{3}$$

Сумма

    /    /     n\            
    |b_1*\1 - q /            
    |------------  for q != 1
S = <   1 - q                
    |                        
    |   b_1*n      otherwise 
    \                        

$$S = \begin{cases} \frac{b_{1} \cdot \left(1 - q^{n}\right)}{1 - q} & \text{for}\: q \neq 1 \\b_{1} n & \text{otherwise} \end{cases}$$

Сумма четырёх членов

           /    1 \
     -1024*|1 - --|
           |     5|
           \    4 /
S5 = --------------
        1 - 1/4    

$$S_{5} = \frac{\left(-1\right) 1024 \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{5}\right)}{- \frac{1}{4} + 1}$$

S5 = -1364

$$S_{5} = -1364$$

Произведение первых n-членов

               n
               -
               2
P_n = (b_1*b_n) 

$$P_{n} = \left(b_{1} b_{n}\right)^{\frac{n}{2}}$$

Произведение четырёх членов

               5/2
P5 = (-1024*-4)   

$$P_{5} = \left(\left(-1024\right) \left(-4\right)\right)^{\frac{5}{2}}$$

P5 = 1073741824

$$P_{5} = 1073741824$$