Производная a^(1/x)

Вы ввели

x ___
\/ a 

$$a^{\frac{1}{x}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{1}{x}$.

2. $\frac{\partial}{\partial u} a^{u} = a^{u} \log{\left (a \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$:

   1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{a^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \log{\left (a \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{a^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \log{\left (a \right )}$

Первая производная

 x ___        
-\/ a *log(a) 
--------------
       2      
      x       

$$- \frac{a^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \log{\left (a \right )}$$

Вторая производная

x ___ /    log(a)\       
\/ a *|2 + ------|*log(a)
      \      x   /       
-------------------------
             3           
            x            

$$\frac{a^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \left(2 + \frac{1}{x} \log{\left (a \right )}\right) \log{\left (a \right )}$$

Третья производная

       /       2              \        
 x ___ |    log (a)   6*log(a)|        
-\/ a *|6 + ------- + --------|*log(a) 
       |        2        x    |        
       \       x              /        
---------------------------------------
                    4                  
                   x                   

$$- \frac{a^{\frac{1}{x}}}{x^{4}} \left(6 + \frac{6}{x} \log{\left (a \right )} + \frac{1}{x^{2}} \log^{2}{\left (a \right )}\right) \log{\left (a \right )}$$