Производная (a^x)/x

Вы ввели

 x
a 
--
x 

$$\frac{a^{x}}{x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = a^{x}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. $\frac{\partial}{\partial x} a^{x} = a^{x} \log{\left (a \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(a^{x} x \log{\left (a \right )} - a^{x}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{a^{x}}{x^{2}} \left(x \log{\left (a \right )} - 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{a^{x}}{x^{2}} \left(x \log{\left (a \right )} - 1\right)$

Первая производная

   x    x       
  a    a *log(a)
- -- + ---------
   2       x    
  x             

$$\frac{a^{x}}{x} \log{\left (a \right )} - \frac{a^{x}}{x^{2}}$$

Вторая производная

 x /   2      2    2*log(a)\
a *|log (a) + -- - --------|
   |           2      x    |
   \          x            /
----------------------------
             x              

$$\frac{a^{x}}{x} \left(\log^{2}{\left (a \right )} - \frac{2}{x} \log{\left (a \right )} + \frac{2}{x^{2}}\right)$$

Третья производная

   /                    2              \
 x |   3      6    3*log (a)   6*log(a)|
a *|log (a) - -- - --------- + --------|
   |           3       x           2   |
   \          x                   x    /
----------------------------------------
                   x                    

$$\frac{a^{x}}{x} \left(\log^{3}{\left (a \right )} - \frac{3}{x} \log^{2}{\left (a \right )} + \frac{6}{x^{2}} \log{\left (a \right )} - \frac{6}{x^{3}}\right)$$