Производная arctg3*(log(sqrt(x))/(x+2))

Вы ввели

           /  ___\
        log\\/ x /
atan(3)*----------
          x + 2   

$$\frac{\log{\left (\sqrt{x} \right )}}{x + 2} \operatorname{atan}{\left (3 \right )}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = \log{\left (\sqrt{x} \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x + 2$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. Заменим $u = \sqrt{x}$.

      2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

         1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{2 x}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x + 2$ почленно:

         1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} \left(- \log{\left (\sqrt{x} \right )} + \frac{x + 2}{2 x}\right)$

   Таким образом, в результате: $\frac{\operatorname{atan}{\left (3 \right )}}{\left(x + 2\right)^{2}} \left(- \log{\left (\sqrt{x} \right )} + \frac{x + 2}{2 x}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\operatorname{atan}{\left (3 \right )}}{2 x \left(x + 2\right)^{2}} \left(- 2 x \log{\left (\sqrt{x} \right )} + x + 2\right)$

---

Ответ:

$\frac{\operatorname{atan}{\left (3 \right )}}{2 x \left(x + 2\right)^{2}} \left(- 2 x \log{\left (\sqrt{x} \right )} + x + 2\right)$

Первая производная

/                 /  ___\\        
|     1        log\\/ x /|        
|----------- - ----------|*atan(3)
|2*x*(x + 2)           2 |        
\               (x + 2)  /        

$$\left(- \frac{\log{\left (\sqrt{x} \right )}}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{2 x \left(x + 2\right)}\right) \operatorname{atan}{\left (3 \right )}$$

Вторая производная

 /                        /  ___\\         
 | 1         1       2*log\\/ x /|         
-|---- + --------- - ------------|*atan(3) 
 |   2   x*(2 + x)            2  |         
 \2*x                  (2 + x)   /         
-------------------------------------------
                   2 + x                   

$$- \frac{\operatorname{atan}{\left (3 \right )}}{x + 2} \left(- \frac{2 \log{\left (\sqrt{x} \right )}}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x + 2\right)} + \frac{1}{2 x^{2}}\right)$$

Третья производная

/          /  ___\                            \        
|1    6*log\\/ x /       3             3      |        
|-- - ------------ + ---------- + ------------|*atan(3)
| 3            3              2      2        |        
\x      (2 + x)      x*(2 + x)    2*x *(2 + x)/        
-------------------------------------------------------
                         2 + x                         

$$\frac{\operatorname{atan}{\left (3 \right )}}{x + 2} \left(- \frac{6 \log{\left (\sqrt{x} \right )}}{\left(x + 2\right)^{3}} + \frac{3}{x \left(x + 2\right)^{2}} + \frac{3}{2 x^{2} \left(x + 2\right)} + \frac{1}{x^{3}}\right)$$

График