Производная 4/(2-e^y)

Вы ввели

  4   
------
     y
2 - e 

$$\frac{4}{2 - e^{y}}$$

d /  4   \
--|------|
dy|     y|
  \2 - e /

$$\frac{d}{d y} \frac{4}{2 - e^{y}}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = 2 - e^{y}$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d y} \left(2 - e^{y}\right)$:

      1. дифференцируем $2 - e^{y}$ почленно:

         1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Производная $e^{y}$ само оно.

            Таким образом, в результате: $- e^{y}$

         В результате: $- e^{y}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{e^{y}}{\left(2 - e^{y}\right)^{2}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{4 e^{y}}{\left(2 - e^{y}\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{4 e^{y}}{\left(e^{y} - 2\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{4 e^{y}}{\left(e^{y} - 2\right)^{2}}$

Первая производная

      y  
   4*e   
---------
        2
/     y\ 
\2 - e / 

$$\frac{4 e^{y}}{\left(2 - e^{y}\right)^{2}}$$

Вторая производная

  /         y \   
  |      2*e  |  y
4*|1 - -------|*e 
  |          y|   
  \    -2 + e /   
------------------
             2    
    /      y\     
    \-2 + e /     

$$\frac{4 \cdot \left(1 - \frac{2 e^{y}}{e^{y} - 2}\right) e^{y}}{\left(e^{y} - 2\right)^{2}}$$

Третья производная

  /         y         2*y  \   
  |      6*e       6*e     |  y
4*|1 - ------- + ----------|*e 
  |          y            2|   
  |    -2 + e    /      y\ |   
  \              \-2 + e / /   
-------------------------------
                    2          
           /      y\           
           \-2 + e /           

$$\frac{4 \cdot \left(1 - \frac{6 e^{y}}{e^{y} - 2} + \frac{6 e^{2 y}}{\left(e^{y} - 2\right)^{2}}\right) e^{y}}{\left(e^{y} - 2\right)^{2}}$$

График