Производная 4/cos(x)^(2)

Вы ввели

   4   
-------
   2   
cos (x)

$$\frac{4}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$

d /   4   \
--|-------|
dx|   2   |
  \cos (x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{4}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \cos^{2}{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos^{2}{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = \cos{\left(x \right)}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         В результате последовательности правил:

         $- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{8 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{8 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$

Первая производная

8*sin(x)
--------
   3    
cos (x) 

$$\frac{8 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

  /         2   \
  |    3*sin (x)|
8*|1 + ---------|
  |        2    |
  \     cos (x) /
-----------------
        2        
     cos (x)     

$$\frac{8 \cdot \left(\frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$

Третья производная

   /         2   \       
   |    3*sin (x)|       
32*|2 + ---------|*sin(x)
   |        2    |       
   \     cos (x) /       
-------------------------
            3            
         cos (x)         

$$\frac{32 \cdot \left(\frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 2\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$$

График