Производная 4/x^5-tan(x)

Вы ввели

4          
-- - tan(x)
 5         
x          

$$- \tan{\left(x \right)} + \frac{4}{x^{5}}$$

d /4          \
--|-- - tan(x)|
dx| 5         |
  \x          /

$$\frac{d}{d x} \left(- \tan{\left(x \right)} + \frac{4}{x^{5}}\right)$$

Подробное решение

1. дифференцируем $- \tan{\left(x \right)} + \frac{4}{x^{5}}$ почленно:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = x^{5}$.

      2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{5}$:

         1. В силу правила, применим: $x^{5}$ получим $5 x^{4}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{5}{x^{6}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{20}{x^{6}}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате: $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{20}{x^{6}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{20}{x^{6}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{20}{x^{6}}$

Первая производная

        2      20
-1 - tan (x) - --
                6
               x 

$$- \tan^{2}{\left(x \right)} - 1 - \frac{20}{x^{6}}$$

Вторая производная

  /60   /       2   \       \
2*|-- - \1 + tan (x)/*tan(x)|
  | 7                       |
  \x                        /

$$2 \left(- \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \frac{60}{x^{7}}\right)$$

Третья производная

   /             2                                \
   |/       2   \    420        2    /       2   \|
-2*|\1 + tan (x)/  + --- + 2*tan (x)*\1 + tan (x)/|
   |                   8                          |
   \                  x                           /

$$- 2 \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} + \frac{420}{x^{8}}\right)$$

График