Производная csc(x^3)^(3)

Вы ввели

   3/ 3\
csc \x /

$$\csc^{3}{\left (x^{3} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \csc{\left (x^{3} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \csc{\left (x^{3} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = x^{3}$.

      2. Производная косеканс есть минус косеканс, умноженный на котангенс:

         $\frac{d}{d u} \csc{\left (u \right )} = - \cot{\left (u \right )} \csc{\left (u \right )}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{3}$:

         1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

         В результате последовательности правил:

         $- 3 x^{2} \cot{\left (x^{3} \right )} \csc{\left (x^{3} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{9 x^{2} \csc^{2}{\left (x^{3} \right )}}{\sin^{2}{\left (x^{3} \right )}} \cos{\left (x^{3} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{9 x^{2} \cos{\left (x^{3} \right )}}{\sin^{4}{\left (x^{3} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{9 x^{2} \cos{\left (x^{3} \right )}}{\sin^{4}{\left (x^{3} \right )}}$

Первая производная

    2    3/ 3\    / 3\
-9*x *csc \x /*cot\x /

$$- 9 x^{2} \cot{\left (x^{3} \right )} \csc^{3}{\left (x^{3} \right )}$$

Вторая производная

       3/ 3\ /       / 3\      3 /       2/ 3\\      3    2/ 3\\
9*x*csc \x /*\- 2*cot\x / + 3*x *\1 + cot \x // + 9*x *cot \x //

$$9 x \left(3 x^{3} \left(\cot^{2}{\left (x^{3} \right )} + 1\right) + 9 x^{3} \cot^{2}{\left (x^{3} \right )} - 2 \cot{\left (x^{3} \right )}\right) \csc^{3}{\left (x^{3} \right )}$$

Третья производная

     3/ 3\ /       / 3\       6    3/ 3\       3 /       2/ 3\\       3    2/ 3\       6 /       2/ 3\\    / 3\\
9*csc \x /*\- 2*cot\x / - 81*x *cot \x / + 18*x *\1 + cot \x // + 54*x *cot \x / - 99*x *\1 + cot \x //*cot\x //

$$9 \left(- 99 x^{6} \left(\cot^{2}{\left (x^{3} \right )} + 1\right) \cot{\left (x^{3} \right )} - 81 x^{6} \cot^{3}{\left (x^{3} \right )} + 18 x^{3} \left(\cot^{2}{\left (x^{3} \right )} + 1\right) + 54 x^{3} \cot^{2}{\left (x^{3} \right )} - 2 \cot{\left (x^{3} \right )}\right) \csc^{3}{\left (x^{3} \right )}$$