Производная 10*sin(5/x)

Вы ввели

      /5\
10*sin|-|
      \x/

$$10 \sin{\left (\frac{5}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \frac{5}{x}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{5}{x}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{5}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{5}{x^{2}} \cos{\left (\frac{5}{x} \right )}$

   Таким образом, в результате: $- \frac{50}{x^{2}} \cos{\left (\frac{5}{x} \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{50}{x^{2}} \cos{\left (\frac{5}{x} \right )}$

Первая производная

       /5\
-50*cos|-|
       \x/
----------
     2    
    x     

$$- \frac{50}{x^{2}} \cos{\left (\frac{5}{x} \right )}$$

Вторая производная

   /                /5\\
   |           5*sin|-||
   |     /5\        \x/|
50*|2*cos|-| - --------|
   \     \x/      x    /
------------------------
            3           
           x            

$$\frac{1}{x^{3}} \left(100 \cos{\left (\frac{5}{x} \right )} - \frac{250}{x} \sin{\left (\frac{5}{x} \right )}\right)$$

Третья производная

   /                   /5\         /5\\
   |             25*cos|-|   30*sin|-||
   |       /5\         \x/         \x/|
50*|- 6*cos|-| + --------- + ---------|
   |       \x/        2          x    |
   \                 x                /
---------------------------------------
                    4                  
                   x                   

$$\frac{1}{x^{4}} \left(- 300 \cos{\left (\frac{5}{x} \right )} + \frac{1500}{x} \sin{\left (\frac{5}{x} \right )} + \frac{1250}{x^{2}} \cos{\left (\frac{5}{x} \right )}\right)$$