Производная 10^x*(tan(x))

Вы ввели

  x       
10 *tan(x)

$$10^{x} \tan{\left(x \right)}$$

d /  x       \
--\10 *tan(x)/
dx            

$$\frac{d}{d x} 10^{x} \tan{\left(x \right)}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 10^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. $\frac{d}{d x} 10^{x} = 10^{x} \log{\left(10 \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате: $\frac{10^{x} \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 10^{x} \log{\left(10 \right)} \tan{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{10^{x} \left(\frac{\log{\left(10 \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{2} + 1\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{10^{x} \left(\frac{\log{\left(10 \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{2} + 1\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

  x /       2   \     x               
10 *\1 + tan (x)/ + 10 *log(10)*tan(x)

$$10^{x} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 10^{x} \log{\left(10 \right)} \tan{\left(x \right)}$$

Вторая производная

  x /   2                /       2   \             /       2   \       \
10 *\log (10)*tan(x) + 2*\1 + tan (x)/*log(10) + 2*\1 + tan (x)/*tan(x)/

$$10^{x} \left(2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(10 \right)} + \log{\left(10 \right)}^{2} \tan{\left(x \right)}\right)$$

Третья производная

  x /   3                /       2   \ /         2   \        2     /       2   \     /       2   \               \
10 *\log (10)*tan(x) + 2*\1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x)/ + 3*log (10)*\1 + tan (x)/ + 6*\1 + tan (x)/*log(10)*tan(x)/

$$10^{x} \left(2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(10 \right)} \tan{\left(x \right)} + 3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(10 \right)}^{2} + \log{\left(10 \right)}^{3} \tan{\left(x \right)}\right)$$

График