Производная 9^x/cot(x)

Вы ввели

   x  
  9   
------
cot(x)

$$\frac{9^{x}}{\cot{\left(x \right)}}$$

  /   x  \
d |  9   |
--|------|
dx\cot(x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{9^{x}}{\cot{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 9^{x}$ и $g{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. $\frac{d}{d x} 9^{x} = 9^{x} \log{\left(9 \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Method #1

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

      2. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$.

      3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

         1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

            $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         2. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Производная синуса есть косинус:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Теперь применим правило производной деления:

            $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

      Method #2

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\frac{9^{x} \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + 9^{x} \log{\left(9 \right)} \cot{\left(x \right)}}{\cot^{2}{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{9^{x} \left(\log{\left(3 \right)} \sin{\left(2 x \right)} + 1\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{9^{x} \left(\log{\left(3 \right)} \sin{\left(2 x \right)} + 1\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

 x           x /       2   \
9 *log(9)   9 *\1 + cot (x)/
--------- + ----------------
  cot(x)           2        
                cot (x)     

$$\frac{9^{x} \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot^{2}{\left(x \right)}} + \frac{9^{x} \log{\left(9 \right)}}{\cot{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

   /                          /            2   \     /       2   \       \
 x |   2        /       2   \ |     1 + cot (x)|   2*\1 + cot (x)/*log(9)|
9 *|log (9) + 2*\1 + cot (x)/*|-1 + -----------| + ----------------------|
   |                          |          2     |           cot(x)        |
   \                          \       cot (x)  /                         /
--------------------------------------------------------------------------
                                  cot(x)                                  

$$\frac{9^{x} \left(2 \left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cot^{2}{\left(x \right)}} - 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(9 \right)}}{\cot{\left(x \right)}} + \log{\left(9 \right)}^{2}\right)}{\cot{\left(x \right)}}$$

Третья производная

   /                                                                                                           /            2   \       \
   |                                                                                             /       2   \ |     1 + cot (x)|       |
   |                                          2                  3                             6*\1 + cot (x)/*|-1 + -----------|*log(9)|
   |                   3         /       2   \      /       2   \         2    /       2   \                   |          2     |       |
 x |         2      log (9)   10*\1 + cot (x)/    6*\1 + cot (x)/    3*log (9)*\1 + cot (x)/                   \       cot (x)  /       |
9 *|4 + 4*cot (x) + ------- - ----------------- + ---------------- + ----------------------- + -----------------------------------------|
   |                 cot(x)           2                  4                      2                                cot(x)                 |
   \                               cot (x)            cot (x)                cot (x)                                                    /

$$9^{x} \left(\frac{6 \left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cot^{2}{\left(x \right)}} - 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(9 \right)}}{\cot{\left(x \right)}} + \frac{6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{\cot^{4}{\left(x \right)}} - \frac{10 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(9 \right)}^{2}}{\cot^{2}{\left(x \right)}} + 4 \cot^{2}{\left(x \right)} + 4 + \frac{\log{\left(9 \right)}^{3}}{\cot{\left(x \right)}}\right)$$

График