Производная 2/cot(x)^(3)

Вы ввели

   2   
-------
   3   
cot (x)

$$\frac{2}{\cot^{3}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \cot^{3}{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot^{3}{\left (x \right )}$:

      1. Заменим $u = \cot{\left (x \right )}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )}$:

         1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

            Один из способов:

            1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{3 \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cot^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{3 \sin^{2}{\left (x \right )} + 3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )} \cot^{4}{\left (x \right )}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )} + 6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )} \cot^{4}{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{6 \tan^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{6 \tan^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

   /          2   \
-2*\-3 - 3*cot (x)/
-------------------
         4         
      cot (x)      

$$- \frac{- 6 \cot^{2}{\left (x \right )} - 6}{\cot^{4}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                 /       /       2   \\
   /       2   \ |     2*\1 + cot (x)/|
12*\1 + cot (x)/*|-1 + ---------------|
                 |            2       |
                 \         cot (x)    /
---------------------------------------
                   3                   
                cot (x)                

$$\frac{12}{\cot^{3}{\left (x \right )}} \left(\frac{2 \cot^{2}{\left (x \right )} + 2}{\cot^{2}{\left (x \right )}} - 1\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                 /                                       2\
                 |       /       2   \      /       2   \ |
   /       2   \ |    11*\1 + cot (x)/   10*\1 + cot (x)/ |
12*\1 + cot (x)/*|2 - ---------------- + -----------------|
                 |           2                   4        |
                 \        cot (x)             cot (x)     /
-----------------------------------------------------------
                             2                             
                          cot (x)                          

$$\frac{12}{\cot^{2}{\left (x \right )}} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\frac{10 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{4}{\left (x \right )}} - \frac{11 \cot^{2}{\left (x \right )} + 11}{\cot^{2}{\left (x \right )}} + 2\right)$$