Производная 2/sin(x)^(2)

Вы ввели

   2   
-------
   2   
sin (x)

$$\frac{2}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \sin^{2}{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left (x \right )}$:

      1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

         В результате последовательности правил:

         $2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}$

   Таким образом, в результате: $- \frac{4 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{4 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}$

Первая производная

-4*cos(x)
---------
    3    
 sin (x) 

$$- \frac{4 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

  /         2   \
  |    3*cos (x)|
4*|1 + ---------|
  |        2    |
  \     sin (x) /
-----------------
        2        
     sin (x)     

$$\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(4 + \frac{12 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

    /         2   \       
    |    3*cos (x)|       
-16*|2 + ---------|*cos(x)
    |        2    |       
    \     sin (x) /       
--------------------------
            3             
         sin (x)          

$$- \frac{16 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} \left(2 + \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$