Производная 2+log((x-5)/x)

Вы ввели

       /x - 5\
2 + log|-----|
       \  x  /

$$\log{\left (\frac{1}{x} \left(x - 5\right) \right )} + 2$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\log{\left (\frac{1}{x} \left(x - 5\right) \right )} + 2$ почленно:

   1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

   2. Заменим $u = \frac{1}{x} \left(x - 5\right)$.

   3. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x} \left(x - 5\right)\right)$:

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

         $f{\left (x \right )} = x - 5$ и $g{\left (x \right )} = x$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

         1. дифференцируем $x - 5$ почленно:

            1. Производная постоянной $-5$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            В результате: $1$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{5}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{5}{x \left(x - 5\right)}$

   В результате: $\frac{5}{x \left(x - 5\right)}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{5}{x \left(x - 5\right)}$

---

Ответ:

$\frac{5}{x \left(x - 5\right)}$

Первая производная

  /1   x - 5\
x*|- - -----|
  |x      2 |
  \      x  /
-------------
    x - 5    

$$\frac{x}{x - 5} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(x - 5\right)\right)$$

Вторая производная

/    -5 + x\ /  1     1   \
|1 - ------|*|- - - ------|
\      x   / \  x   -5 + x/
---------------------------
           -5 + x          

$$\frac{1}{x - 5} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 5\right)\right) \left(- \frac{1}{x - 5} - \frac{1}{x}\right)$$

Третья производная

  /    -5 + x\ /1        1           1     \
2*|1 - ------|*|-- + --------- + ----------|
  \      x   / | 2           2   x*(-5 + x)|
               \x    (-5 + x)              /
--------------------------------------------
                   -5 + x                   

$$\frac{2}{x - 5} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 5\right)\right) \left(\frac{1}{\left(x - 5\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x - 5\right)} + \frac{1}{x^{2}}\right)$$