Производная 2*cot(1/x)

Вы ввели

     /1\
2*cot|-|
     \x/

$$2 \cot{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{1}{x}$.

      2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$:

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{x^{2} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

   Таким образом, в результате: $- \frac{- \frac{2}{x^{2}} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{2}{x^{2}} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} \tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2}{x^{2} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{2}{x^{2} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

Первая производная

   /        2/1\\
-2*|-1 - cot |-||
   \         \x//
-----------------
         2       
        x        

$$- \frac{1}{x^{2}} \left(- 2 \cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} - 2\right)$$

Вторая производная

                /        /1\\
                |     cot|-||
  /       2/1\\ |        \x/|
4*|1 + cot |-||*|-1 + ------|
  \        \x// \       x   /
-----------------------------
               3             
              x              

$$\frac{4}{x^{3}} \left(-1 + \frac{1}{x} \cot{\left (\frac{1}{x} \right )}\right) \left(\cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                /           2/1\        /1\        2/1\\
                |    1 + cot |-|   6*cot|-|   2*cot |-||
  /       2/1\\ |            \x/        \x/         \x/|
4*|1 + cot |-||*|3 + ----------- - -------- + ---------|
  \        \x// |          2          x            2   |
                \         x                       x    /
--------------------------------------------------------
                            4                           
                           x                            

$$\frac{4}{x^{4}} \left(\cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \left(3 - \frac{6}{x} \cot{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(\cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) + \frac{2}{x^{2}} \cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}\right)$$