Производная 2*log(tan(t))

Вы ввели

2*log(tan(t))

$$2 \log{\left (\tan{\left (t \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \tan{\left (t \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} \tan{\left (t \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d t} \tan{\left (t \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (t \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\sin^{2}{\left (t \right )} + \cos^{2}{\left (t \right )}}{\cos^{2}{\left (t \right )} \tan{\left (t \right )}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{2 \sin^{2}{\left (t \right )} + 2 \cos^{2}{\left (t \right )}}{\cos^{2}{\left (t \right )} \tan{\left (t \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{4}{\sin{\left (2 t \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{4}{\sin{\left (2 t \right )}}$

Первая производная

  /       2   \
2*\1 + tan (t)/
---------------
     tan(t)    

$$\frac{2 \tan^{2}{\left (t \right )} + 2}{\tan{\left (t \right )}}$$

Вторая производная

  /                             2\
  |                /       2   \ |
  |         2      \1 + tan (t)/ |
2*|2 + 2*tan (t) - --------------|
  |                      2       |
  \                   tan (t)    /

$$2 \left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left (t \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left (t \right )}} + 2 \tan^{2}{\left (t \right )} + 2\right)$$

Третья производная

                /                        2                  \
                |           /       2   \      /       2   \|
  /       2   \ |           \1 + tan (t)/    2*\1 + tan (t)/|
4*\1 + tan (t)/*|2*tan(t) + -------------- - ---------------|
                |                 3               tan(t)    |
                \              tan (t)                      /

$$4 \left(\tan^{2}{\left (t \right )} + 1\right) \left(\frac{\left(\tan^{2}{\left (t \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left (t \right )}} - \frac{2 \tan^{2}{\left (t \right )} + 2}{\tan{\left (t \right )}} + 2 \tan{\left (t \right )}\right)$$