Производная 2*sin(x)/x

Вы ввели

2*sin(x)
--------
   x    

$$\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x}$$

d /2*sin(x)\
--|--------|
dx\   x    /

$$\frac{d}{d x} \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = x$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{2 \left(x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right)}{x^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{2 \left(x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right)}{x^{2}}$

Первая производная

  2*sin(x)   2*cos(x)
- -------- + --------
      2         x    
     x               

$$\frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}$$

Вторая производная

  /          2*cos(x)   2*sin(x)\
2*|-sin(x) - -------- + --------|
  |             x           2   |
  \                        x    /
---------------------------------
                x                

$$\frac{2 \left(- \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}$$

Третья производная

  /          6*sin(x)   3*sin(x)   6*cos(x)\
2*|-cos(x) - -------- + -------- + --------|
  |              3         x           2   |
  \             x                     x    /
--------------------------------------------
                     x                      

$$\frac{2 \left(- \cos{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)}{x}$$

График