Производная 2*tan(x/3)

Вы ввели

     /x\
2*tan|-|
     \3/

$$2 \tan{\left (\frac{x}{3} \right )}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{x}{3}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{3}\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{3}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{3 \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{1}{\cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}} \left(\frac{2}{3} \sin^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + \frac{2}{3} \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2}{3 \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{2}{3 \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}}$

Первая производная

         2/x\
    2*tan |-|
2         \3/
- + ---------
3       3    

$$\frac{2}{3} \tan^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + \frac{2}{3}$$

Вторая производная

  /       2/x\\    /x\
4*|1 + tan |-||*tan|-|
  \        \3//    \3/
----------------------
          9           

$$\frac{4}{9} \left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 1\right) \tan{\left (\frac{x}{3} \right )}$$

Третья производная

  /       2/x\\ /         2/x\\
4*|1 + tan |-||*|1 + 3*tan |-||
  \        \3// \          \3//
-------------------------------
               27              

$$\frac{4}{27} \left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 1\right)$$

График