Производная 2^(4/sin(x))

Вы ввели

   4   
 ------
 sin(x)
2      

$$2^{\frac{4}{\sin{\left(x \right)}}}$$

  /   4   \
  | ------|
d | sin(x)|
--\2      /
dx         

$$\frac{d}{d x} 2^{\frac{4}{\sin{\left(x \right)}}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{4}{\sin{\left(x \right)}}$.

2. $\frac{d}{d u} 2^{u} = 2^{u} \log{\left(2 \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{4}{\sin{\left(x \right)}}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

      2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{4 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{4 \cdot 2^{\frac{4}{\sin{\left(x \right)}}} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2^{2 + \frac{4}{\sin{\left(x \right)}}} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{2^{2 + \frac{4}{\sin{\left(x \right)}}} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

      4                 
    ------              
    sin(x)              
-4*2      *cos(x)*log(2)
------------------------
           2            
        sin (x)         

$$- \frac{4 \cdot 2^{\frac{4}{\sin{\left(x \right)}}} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

     4                                             
   ------ /         2           2          \       
   sin(x) |    2*cos (x)   4*cos (x)*log(2)|       
4*2      *|1 + --------- + ----------------|*log(2)
          |        2              3        |       
          \     sin (x)        sin (x)     /       
---------------------------------------------------
                       sin(x)                      

$$\frac{4 \cdot 2^{\frac{4}{\sin{\left(x \right)}}} \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{4 \log{\left(2 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) \log{\left(2 \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Третья производная

      4                                                                                      
    ------ /         2                        2       2            2          \              
    sin(x) |    6*cos (x)   12*log(2)   16*cos (x)*log (2)   24*cos (x)*log(2)|              
-4*2      *|5 + --------- + --------- + ------------------ + -----------------|*cos(x)*log(2)
           |        2         sin(x)            4                    3        |              
           \     sin (x)                     sin (x)              sin (x)     /              
---------------------------------------------------------------------------------------------
                                              2                                              
                                           sin (x)                                           

$$- \frac{4 \cdot 2^{\frac{4}{\sin{\left(x \right)}}} \left(5 + \frac{12 \log{\left(2 \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{24 \log{\left(2 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} + \frac{16 \log{\left(2 \right)}^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}\right) \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

График