Производная 2^cos(x)^(2)

Вы ввели

    2   
 cos (x)
2       

$$2^{\cos^{2}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos^{2}{\left (x \right )}$.

2. $\frac{d}{d u} 2^{u} = 2^{u} \log{\left (2 \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos^{2}{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- 2 \cdot 2^{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (2 \right )} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

4. Теперь упростим:

   $- 2^{\frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} - \frac{1}{2}} \log{\left (4 \right )} \sin{\left (2 x \right )}$

---

Ответ:

$- 2^{\frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} - \frac{1}{2}} \log{\left (4 \right )} \sin{\left (2 x \right )}$

Первая производная

       2                        
    cos (x)                     
-2*2       *cos(x)*log(2)*sin(x)

$$- 2 \cdot 2^{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (2 \right )} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$$

Вторая производная

      2                                                         
   cos (x) /   2         2           2       2          \       
2*2       *\sin (x) - cos (x) + 2*cos (x)*sin (x)*log(2)/*log(2)

$$2 \cdot 2^{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(2 \log{\left (2 \right )} \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \sin^{2}{\left (x \right )} - \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \log{\left (2 \right )}$$

Третья производная

      2                                                                                              
   cos (x) /         2                  2                  2       2       2   \                     
4*2       *\2 - 3*sin (x)*log(2) + 3*cos (x)*log(2) - 2*cos (x)*log (2)*sin (x)/*cos(x)*log(2)*sin(x)

$$4 \cdot 2^{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(- 2 \log^{2}{\left (2 \right )} \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} - 3 \log{\left (2 \right )} \sin^{2}{\left (x \right )} + 3 \log{\left (2 \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + 2\right) \log{\left (2 \right )} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$$