Производная 2^(cot(1/x))

Вы ввели

    /1\
 cot|-|
    \x/
2      

$$2^{\cot{\left (\frac{1}{x} \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left (\frac{1}{x} \right )}$.

2. $\frac{d}{d u} 2^{u} = 2^{u} \log{\left (2 \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (\frac{1}{x} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{1}{x}$.

      2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$:

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{x^{2} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2^{\cot{\left (\frac{1}{x} \right )}} \log{\left (2 \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} \tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}} \left(- \frac{1}{x^{2}} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{1}{x^{2}} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2^{\frac{1}{\tan{\left (\frac{1}{x} \right )}}} \log{\left (2 \right )}}{x^{2} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{2^{\frac{1}{\tan{\left (\frac{1}{x} \right )}}} \log{\left (2 \right )}}{x^{2} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

Первая производная

     /1\                       
  cot|-|                       
     \x/ /        2/1\\        
-2      *|-1 - cot |-||*log(2) 
         \         \x//        
-------------------------------
                2              
               x               

$$- \frac{1}{x^{2}} 2^{\cot{\left (\frac{1}{x} \right )}} \left(- \cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} - 1\right) \log{\left (2 \right )}$$

Вторая производная

    /1\               /          /1\   /       2/1\\       \       
 cot|-|               |     2*cot|-|   |1 + cot |-||*log(2)|       
    \x/ /       2/1\\ |          \x/   \        \x//       |       
2      *|1 + cot |-||*|-2 + -------- + --------------------|*log(2)
        \        \x// \        x                x          /       
-------------------------------------------------------------------
                                  3                                
                                 x                                 

$$\frac{1}{x^{3}} 2^{\cot{\left (\frac{1}{x} \right )}} \left(\cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \left(-2 + \frac{1}{x} \left(\cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \log{\left (2 \right )} + \frac{2}{x} \cot{\left (\frac{1}{x} \right )}\right) \log{\left (2 \right )}$$

Третья производная

                      /                                                           2                                                                 \       
    /1\               |          /1\     /       2/1\\        2/1\   /       2/1\\     2        /       2/1\\            /       2/1\\    /1\       |       
 cot|-|               |    12*cot|-|   2*|1 + cot |-||   4*cot |-|   |1 + cot |-|| *log (2)   6*|1 + cot |-||*log(2)   6*|1 + cot |-||*cot|-|*log(2)|       
    \x/ /       2/1\\ |          \x/     \        \x//         \x/   \        \x//              \        \x//            \        \x//    \x/       |       
2      *|1 + cot |-||*|6 - --------- + --------------- + --------- + ---------------------- - ---------------------- + -----------------------------|*log(2)
        \        \x// |        x               2              2                 2                       x                             2             |       
                      \                       x              x                 x                                                     x              /       
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                              4                                                                             
                                                                             x                                                                              

$$\frac{1}{x^{4}} 2^{\cot{\left (\frac{1}{x} \right )}} \left(\cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \left(6 - \frac{6}{x} \left(\cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \log{\left (2 \right )} - \frac{12}{x} \cot{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(\cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right)^{2} \log^{2}{\left (2 \right )} + \frac{6}{x^{2}} \left(\cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \log{\left (2 \right )} \cot{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(2 \cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 2\right) + \frac{4}{x^{2}} \cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}\right) \log{\left (2 \right )}$$