Производная 2^cot(x)^2

Вы ввели

    2   
 cot (x)
2       

$$2^{\cot^{2}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot^{2}{\left (x \right )}$.

2. $\frac{d}{d u} 2^{u} = 2^{u} \log{\left (2 \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot^{2}{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \cot{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cot{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 \cdot 2^{\cot^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (2 \right )} \cot{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2^{\frac{1}{\tan^{2}{\left (x \right )}}} \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} \log{\left (4 \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{2^{\frac{1}{\tan^{2}{\left (x \right )}}} \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} \log{\left (4 \right )}$

Первая производная

    2                                  
 cot (x) /          2   \              
2       *\-2 - 2*cot (x)/*cot(x)*log(2)

$$2^{\cot^{2}{\left (x \right )}} \left(- 2 \cot^{2}{\left (x \right )} - 2\right) \log{\left (2 \right )} \cot{\left (x \right )}$$

Вторая производная

      2                                                                         
   cot (x) /       2   \ /         2           2    /       2   \       \       
2*2       *\1 + cot (x)/*\1 + 3*cot (x) + 2*cot (x)*\1 + cot (x)/*log(2)/*log(2)

$$2 \cdot 2^{\cot^{2}{\left (x \right )}} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (2 \right )} \cot^{2}{\left (x \right )} + 3 \cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (2 \right )}$$

Третья производная

       2                  /                               2                         2                                                 \              
    cot (x) /       2   \ |         2        /       2   \             /       2   \     2       2           2    /       2   \       |              
-4*2       *\1 + cot (x)/*\4 + 6*cot (x) + 3*\1 + cot (x)/ *log(2) + 2*\1 + cot (x)/ *cot (x)*log (2) + 6*cot (x)*\1 + cot (x)/*log(2)/*cot(x)*log(2)

$$- 4 \cdot 2^{\cot^{2}{\left (x \right )}} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \log^{2}{\left (2 \right )} \cot^{2}{\left (x \right )} + 3 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \log{\left (2 \right )} + 6 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (2 \right )} \cot^{2}{\left (x \right )} + 6 \cot^{2}{\left (x \right )} + 4\right) \log{\left (2 \right )} \cot{\left (x \right )}$$