Производная 2^(tan(1/x))

Вы ввели

    /1\
 tan|-|
    \x/
2      

$$2^{\tan{\left (\frac{1}{x} \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (\frac{1}{x} \right )}$.

2. $\frac{d}{d u} 2^{u} = 2^{u} \log{\left (2 \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (\frac{1}{x} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{1}{x}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$:

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{1}{x^{2} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2^{\tan{\left (\frac{1}{x} \right )}} \log{\left (2 \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}} \left(- \frac{1}{x^{2}} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{1}{x^{2}} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2^{\tan{\left (\frac{1}{x} \right )}} \log{\left (2 \right )}}{x^{2} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{2^{\tan{\left (\frac{1}{x} \right )}} \log{\left (2 \right )}}{x^{2} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

Первая производная

     /1\                      
  tan|-|                      
     \x/ /       2/1\\        
-2      *|1 + tan |-||*log(2) 
         \        \x//        
------------------------------
               2              
              x               

$$- \frac{1}{x^{2}} 2^{\tan{\left (\frac{1}{x} \right )}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \log{\left (2 \right )}$$

Вторая производная

    /1\               /         /1\   /       2/1\\       \       
 tan|-|               |    2*tan|-|   |1 + tan |-||*log(2)|       
    \x/ /       2/1\\ |         \x/   \        \x//       |       
2      *|1 + tan |-||*|2 + -------- + --------------------|*log(2)
        \        \x// \       x                x          /       
------------------------------------------------------------------
                                 3                                
                                x                                 

$$\frac{1}{x^{3}} 2^{\tan{\left (\frac{1}{x} \right )}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \left(2 + \frac{1}{x} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \log{\left (2 \right )} + \frac{2}{x} \tan{\left (\frac{1}{x} \right )}\right) \log{\left (2 \right )}$$

Третья производная

                       /                                                           2                                                                 \        
     /1\               |      /       2/1\\        2/1\         /1\   /       2/1\\     2        /       2/1\\            /       2/1\\           /1\|        
  tan|-|               |    2*|1 + tan |-||   4*tan |-|   12*tan|-|   |1 + tan |-|| *log (2)   6*|1 + tan |-||*log(2)   6*|1 + tan |-||*log(2)*tan|-||        
     \x/ /       2/1\\ |      \        \x//         \x/         \x/   \        \x//              \        \x//            \        \x//           \x/|        
-2      *|1 + tan |-||*|6 + --------------- + --------- + --------- + ---------------------- + ---------------------- + -----------------------------|*log(2) 
         \        \x// |            2              2          x                  2                       x                             2             |        
                       \           x              x                             x                                                     x              /        
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                               4                                                                              
                                                                              x                                                                               

$$- \frac{1}{x^{4}} 2^{\tan{\left (\frac{1}{x} \right )}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \left(6 + \frac{6}{x} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \log{\left (2 \right )} + \frac{12}{x} \tan{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right)^{2} \log^{2}{\left (2 \right )} + \frac{6}{x^{2}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \log{\left (2 \right )} \tan{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(2 \tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 2\right) + \frac{4}{x^{2}} \tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}\right) \log{\left (2 \right )}$$