Производная 2^tan(x)^7

Вы ввели

    7   
 tan (x)
2       

$$2^{\tan^{7}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan^{7}{\left (x \right )}$.

2. $\frac{d}{d u} 2^{u} = 2^{u} \log{\left (2 \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan^{7}{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{7}$ получим $7 u^{6}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{7 \tan^{6}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{7 \cdot 2^{\tan^{7}{\left (x \right )}}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \log{\left (2 \right )} \tan^{6}{\left (x \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2^{\tan^{7}{\left (x \right )}} \tan^{6}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (128 \right )}$

---

Ответ:

$\frac{2^{\tan^{7}{\left (x \right )}} \tan^{6}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (128 \right )}$

Первая производная

    7                                  
 tan (x)    6    /         2   \       
2       *tan (x)*\7 + 7*tan (x)/*log(2)

$$2^{\tan^{7}{\left (x \right )}} \left(7 \tan^{2}{\left (x \right )} + 7\right) \log{\left (2 \right )} \tan^{6}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

      7                                                                                 
   tan (x)    5    /       2   \ /         2           7    /       2   \       \       
7*2       *tan (x)*\1 + tan (x)/*\6 + 8*tan (x) + 7*tan (x)*\1 + tan (x)/*log(2)/*log(2)

$$7 \cdot 2^{\tan^{7}{\left (x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(7 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (2 \right )} \tan^{7}{\left (x \right )} + 8 \tan^{2}{\left (x \right )} + 6\right) \log{\left (2 \right )} \tan^{5}{\left (x \right )}$$

Третья производная

      7                          /                            2                                                                                2                                     2               \       
   tan (x)    4    /       2   \ |     4         /       2   \          2    /       2   \         9    /       2   \             /       2   \     2       14          /       2   \     7          |       
7*2       *tan (x)*\1 + tan (x)/*\4*tan (x) + 30*\1 + tan (x)/  + 38*tan (x)*\1 + tan (x)/ + 42*tan (x)*\1 + tan (x)/*log(2) + 49*\1 + tan (x)/ *log (2)*tan  (x) + 126*\1 + tan (x)/ *tan (x)*log(2)/*log(2)

$$7 \cdot 2^{\tan^{7}{\left (x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(49 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \log^{2}{\left (2 \right )} \tan^{14}{\left (x \right )} + 126 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \log{\left (2 \right )} \tan^{7}{\left (x \right )} + 30 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 42 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (2 \right )} \tan^{9}{\left (x \right )} + 38 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} + 4 \tan^{4}{\left (x \right )}\right) \log{\left (2 \right )} \tan^{4}{\left (x \right )}$$