Производная 2^x/cos(x)

Вы ввели

   x  
  2   
------
cos(x)

$$\frac{2^{x}}{\cos{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = 2^{x}$ и $g{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. $\frac{d}{d x} 2^{x} = 2^{x} \log{\left (2 \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(2^{x} \sin{\left (x \right )} + 2^{x} \log{\left (2 \right )} \cos{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2^{x}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\tan{\left (x \right )} + \log{\left (2 \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{2^{x}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\tan{\left (x \right )} + \log{\left (2 \right )}\right)$

Первая производная

 x           x       
2 *log(2)   2 *sin(x)
--------- + ---------
  cos(x)        2    
             cos (x) 

$$\frac{2^{x} \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{2^{x} \log{\left (2 \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

   /                   2                     \
 x |       2      2*sin (x)   2*log(2)*sin(x)|
2 *|1 + log (2) + --------- + ---------------|
   |                  2            cos(x)    |
   \               cos (x)                   /
----------------------------------------------
                    cos(x)                    

$$\frac{2^{x}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{2 \log{\left (2 \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )} + \log^{2}{\left (2 \right )} + 1\right)$$

Третья производная

   /                                     3           2                  2          \
 x |   3                 5*sin(x)   6*sin (x)   3*log (2)*sin(x)   6*sin (x)*log(2)|
2 *|log (2) + 3*log(2) + -------- + --------- + ---------------- + ----------------|
   |                      cos(x)        3            cos(x)               2        |
   \                                 cos (x)                           cos (x)     /
------------------------------------------------------------------------------------
                                       cos(x)                                       

$$\frac{2^{x}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{6 \sin^{3}{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}} + \frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (2 \right )} + \frac{3 \log^{2}{\left (2 \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )} + \frac{5 \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + \log^{3}{\left (2 \right )} + 3 \log{\left (2 \right )}\right)$$