Производная 2^x/sin(x)

Вы ввели

   x  
  2   
------
sin(x)

$$\frac{2^{x}}{\sin{\left(x \right)}}$$

  /   x  \
d |  2   |
--|------|
dx\sin(x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{2^{x}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 2^{x}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. $\frac{d}{d x} 2^{x} = 2^{x} \log{\left(2 \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)} \sin{\left(x \right)} - 2^{x} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2^{x} \left(\log{\left(2 \right)} - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}\right)}{\sin{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{2^{x} \left(\log{\left(2 \right)} - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}\right)}{\sin{\left(x \right)}}$

Первая производная

 x           x       
2 *log(2)   2 *cos(x)
--------- - ---------
  sin(x)        2    
             sin (x) 

$$\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{2^{x} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

   /                   2                     \
 x |       2      2*cos (x)   2*cos(x)*log(2)|
2 *|1 + log (2) + --------- - ---------------|
   |                  2            sin(x)    |
   \               sin (x)                   /
----------------------------------------------
                    sin(x)                    

$$\frac{2^{x} \left(\log{\left(2 \right)}^{2} + 1 - \frac{2 \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)}{\sin{\left(x \right)}}$$

Третья производная

   /                                     /         2   \                          \
   |                                     |    6*cos (x)|                          |
   |                                     |5 + ---------|*cos(x)                   |
   |            /         2   \          |        2    |               2          |
 x |   3        |    2*cos (x)|          \     sin (x) /          3*log (2)*cos(x)|
2 *|log (2) + 3*|1 + ---------|*log(2) - ---------------------- - ----------------|
   |            |        2    |                  sin(x)                sin(x)     |
   \            \     sin (x) /                                                   /
-----------------------------------------------------------------------------------
                                       sin(x)                                      

$$\frac{2^{x} \left(3 \cdot \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \log{\left(2 \right)} - \frac{\left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \log{\left(2 \right)}^{3} - \frac{3 \log{\left(2 \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)}{\sin{\left(x \right)}}$$

График