Производная 2^x/(sin(x))

Вы ввели

   x  
  2   
------
sin(x)

$$\frac{2^{x}}{\sin{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = 2^{x}$ и $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. $\frac{d}{d x} 2^{x} = 2^{x} \log{\left (2 \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(2^{x} \log{\left (2 \right )} \sin{\left (x \right )} - 2^{x} \cos{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2^{x}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\log{\left (2 \right )} - \frac{1}{\tan{\left (x \right )}}\right)$

---

Ответ:

$\frac{2^{x}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\log{\left (2 \right )} - \frac{1}{\tan{\left (x \right )}}\right)$

Первая производная

 x           x       
2 *log(2)   2 *cos(x)
--------- - ---------
  sin(x)        2    
             sin (x) 

$$\frac{2^{x} \log{\left (2 \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{2^{x} \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

   /                   2                     \
 x |       2      2*cos (x)   2*cos(x)*log(2)|
2 *|1 + log (2) + --------- - ---------------|
   |                  2            sin(x)    |
   \               sin (x)                   /
----------------------------------------------
                    sin(x)                    

$$\frac{2^{x}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\log^{2}{\left (2 \right )} + 1 - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \log{\left (2 \right )} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

   /                          3                      2                  2          \
 x |   3                 6*cos (x)   5*cos(x)   3*log (2)*cos(x)   6*cos (x)*log(2)|
2 *|log (2) + 3*log(2) - --------- - -------- - ---------------- + ----------------|
   |                         3        sin(x)         sin(x)               2        |
   \                      sin (x)                                      sin (x)     /
------------------------------------------------------------------------------------
                                       sin(x)                                       

$$\frac{2^{x}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\log^{3}{\left (2 \right )} + 3 \log{\left (2 \right )} - \frac{5 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{3 \log^{2}{\left (2 \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )} + \frac{6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (2 \right )} - \frac{6 \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}\right)$$