Производная 2^(x/(x+5))

Вы ввели

   x  
 -----
 x + 5
2     

$$2^{\frac{x}{x + 5}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{x}{x + 5}$.

2. $\frac{d}{d u} 2^{u} = 2^{u} \log{\left (2 \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{x + 5}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = x + 5$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x + 5$ почленно:

         1. Производная постоянной $5$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{5}{\left(x + 5\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{5 \cdot 2^{\frac{x}{x + 5}}}{\left(x + 5\right)^{2}} \log{\left (2 \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2^{\frac{x}{x + 5}}}{\left(x + 5\right)^{2}} \log{\left (32 \right )}$

---

Ответ:

$\frac{2^{\frac{x}{x + 5}}}{\left(x + 5\right)^{2}} \log{\left (32 \right )}$

Первая производная

   x                            
 -----                          
 x + 5 /  1        x    \       
2     *|----- - --------|*log(2)
       |x + 5          2|       
       \        (x + 5) /       

$$2^{\frac{x}{x + 5}} \left(- \frac{x}{\left(x + 5\right)^{2}} + \frac{1}{x + 5}\right) \log{\left (2 \right )}$$

Вторая производная

   x                                                
 -----                                              
 5 + x /       x  \ /    /       x  \       \       
2     *|-1 + -----|*|2 + |-1 + -----|*log(2)|*log(2)
       \     5 + x/ \    \     5 + x/       /       
----------------------------------------------------
                             2                      
                      (5 + x)                       

$$\frac{2^{\frac{x}{x + 5}}}{\left(x + 5\right)^{2}} \left(\frac{x}{x + 5} - 1\right) \left(\left(\frac{x}{x + 5} - 1\right) \log{\left (2 \right )} + 2\right) \log{\left (2 \right )}$$

Третья производная

    x                                                                           
  -----              /                2                                \        
  5 + x /       x  \ |    /       x  \     2        /       x  \       |        
-2     *|-1 + -----|*|6 + |-1 + -----| *log (2) + 6*|-1 + -----|*log(2)|*log(2) 
        \     5 + x/ \    \     5 + x/              \     5 + x/       /        
--------------------------------------------------------------------------------
                                           3                                    
                                    (5 + x)                                     

$$- \frac{2^{\frac{x}{x + 5}}}{\left(x + 5\right)^{3}} \left(\frac{x}{x + 5} - 1\right) \left(\left(\frac{x}{x + 5} - 1\right)^{2} \log^{2}{\left (2 \right )} + 6 \left(\frac{x}{x + 5} - 1\right) \log{\left (2 \right )} + 6\right) \log{\left (2 \right )}$$