Производная 2^x*cot(x)

Вы ввели

 x       
2 *cot(x)

$$2^{x} \cot{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = 2^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. $\frac{d}{d x} 2^{x} = 2^{x} \log{\left (2 \right )}$

   $g{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате: $- \frac{2^{x} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + 2^{x} \log{\left (2 \right )} \cot{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2^{x} \left(\log{\left (2 \right )} \sin{\left (2 x \right )} - 2\right)}{- \cos{\left (2 x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{2^{x} \left(\log{\left (2 \right )} \sin{\left (2 x \right )} - 2\right)}{- \cos{\left (2 x \right )} + 1}$

Первая производная

 x /        2   \    x              
2 *\-1 - cot (x)/ + 2 *cot(x)*log(2)

$$2^{x} \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) + 2^{x} \log{\left (2 \right )} \cot{\left (x \right )}$$

Вторая производная

 x /   2               /       2   \            /       2   \       \
2 *\log (2)*cot(x) - 2*\1 + cot (x)/*log(2) + 2*\1 + cot (x)/*cot(x)/

$$2^{x} \left(2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} - 2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (2 \right )} + \log^{2}{\left (2 \right )} \cot{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

   /                 2                                                                                                     \
 x |    /       2   \       3                  2    /       2   \        2    /       2   \     /       2   \              |
2 *\- 2*\1 + cot (x)/  + log (2)*cot(x) - 4*cot (x)*\1 + cot (x)/ - 3*log (2)*\1 + cot (x)/ + 6*\1 + cot (x)/*cot(x)*log(2)/

$$2^{x} \left(- 2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} - 4 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} + 6 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (2 \right )} \cot{\left (x \right )} - 3 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log^{2}{\left (2 \right )} + \log^{3}{\left (2 \right )} \cot{\left (x \right )}\right)$$