Производная 2^(x*sin(x))

Вы ввели

 x*sin(x)
2        

$$2^{x \sin{\left(x \right)}}$$

d / x*sin(x)\
--\2        /
dx           

$$\frac{d}{d x} 2^{x \sin{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x \sin{\left(x \right)}$.

2. $\frac{d}{d u} 2^{u} = 2^{u} \log{\left(2 \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x \sin{\left(x \right)}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      В результате: $x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

   В результате последовательности правил:

   $2^{x \sin{\left(x \right)}} \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \log{\left(2 \right)}$

---

Ответ:

$2^{x \sin{\left(x \right)}} \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \log{\left(2 \right)}$

Первая производная

 x*sin(x)                           
2        *(x*cos(x) + sin(x))*log(2)

$$2^{x \sin{\left(x \right)}} \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \log{\left(2 \right)}$$

Вторая производная

 x*sin(x) /                              2                  \       
2        *\2*cos(x) + (x*cos(x) + sin(x)) *log(2) - x*sin(x)/*log(2)

$$2^{x \sin{\left(x \right)}} \left(- x \sin{\left(x \right)} + \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{2} \log{\left(2 \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) \log{\left(2 \right)}$$

Третья производная

 x*sin(x) /                               3    2                                                                    \       
2        *\-3*sin(x) + (x*cos(x) + sin(x)) *log (2) - x*cos(x) - 3*(-2*cos(x) + x*sin(x))*(x*cos(x) + sin(x))*log(2)/*log(2)

$$2^{x \sin{\left(x \right)}} \left(- x \cos{\left(x \right)} - 3 \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{3} \log{\left(2 \right)}^{2} - 3 \sin{\left(x \right)}\right) \log{\left(2 \right)}$$

График