Производная (exp(a*x))/x

Вы ввели

 a*x
e   
----
 x  

$$\frac{e^{a x}}{x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = e^{a x}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = a x$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(a x\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $a$

      В результате последовательности правил:

      $a e^{a x}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(a x e^{a x} - e^{a x}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{e^{a x}}{x^{2}} \left(a x - 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{e^{a x}}{x^{2}} \left(a x - 1\right)$

Первая производная

   a*x      a*x
  e      a*e   
- ---- + ------
    2      x   
   x           

$$\frac{a}{x} e^{a x} - \frac{e^{a x}}{x^{2}}$$

Вторая производная

/ 2   2    2*a\  a*x
|a  + -- - ---|*e   
|      2    x |     
\     x       /     
--------------------
         x          

$$\frac{e^{a x}}{x} \left(a^{2} - \frac{2 a}{x} + \frac{2}{x^{2}}\right)$$

Третья производная

/             2      \     
| 3   6    3*a    6*a|  a*x
|a  - -- - ---- + ---|*e   
|      3    x       2|     
\     x            x /     
---------------------------
             x             

$$\frac{e^{a x}}{x} \left(a^{3} - \frac{3 a^{2}}{x} + \frac{6 a}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}}\right)$$