Производная exp(-1/(t+1))

Вы ввели

  -1  
 -----
 t + 1
e     

$$e^{- \frac{1}{t + 1}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - \frac{1}{t + 1}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t}\left(- \frac{1}{t + 1}\right)$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = t + 1$.

      2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t}\left(t + 1\right)$:

         1. дифференцируем $t + 1$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

            2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{1}{\left(t + 1\right)^{2}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{1}{\left(t + 1\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{e^{- \frac{1}{t + 1}}}{\left(t + 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{e^{- \frac{1}{t + 1}}}{\left(t + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{e^{- \frac{1}{t + 1}}}{\left(t + 1\right)^{2}}$

Первая производная

   -1   
  ----- 
  t + 1 
 e      
--------
       2
(t + 1) 

$$\frac{e^{- \frac{1}{t + 1}}}{\left(t + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

               -1  
              -----
/       1  \  1 + t
|-2 + -----|*e     
\     1 + t/       
-------------------
             3     
      (1 + t)      

$$\frac{e^{- \frac{1}{t + 1}}}{\left(t + 1\right)^{3}} \left(-2 + \frac{1}{t + 1}\right)$$

Третья производная

                         -1  
                        -----
/       1         6  \  1 + t
|6 + -------- - -----|*e     
|           2   1 + t|       
\    (1 + t)         /       
-----------------------------
                  4          
           (1 + t)           

$$\frac{e^{- \frac{1}{t + 1}}}{\left(t + 1\right)^{4}} \left(6 - \frac{6}{t + 1} + \frac{1}{\left(t + 1\right)^{2}}\right)$$