Производная (exp(-x)-1)/x

Вы ввели

 -x    
e   - 1
-------
   x   

$$\frac{1}{x} \left(-1 + e^{- x}\right)$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = - e^{x} + 1$ и $g{\left (x \right )} = x e^{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- e^{x} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная $e^{x}$ само оно.

         Таким образом, в результате: $- e^{x}$

      В результате: $- e^{x}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left (x \right )} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      В результате: $x e^{x} + e^{x}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(- x e^{2 x} - \left(x e^{x} + e^{x}\right) \left(- e^{x} + 1\right)\right) e^{- 2 x}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{e^{- x}}{x^{2}} \left(- x + e^{x} - 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{e^{- x}}{x^{2}} \left(- x + e^{x} - 1\right)$

Первая производная

   -x    -x    
  e     e   - 1
- --- - -------
   x        2  
           x   

$$- \frac{e^{- x}}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(-1 + e^{- x}\right)$$

Вторая производная

    /     -x\      -x      
  2*\1 - e  /   2*e      -x
- ----------- + ----- + e  
        2         x        
       x                   
---------------------------
             x             

$$\frac{1}{x} \left(e^{- x} + \frac{2}{x} e^{- x} - \frac{1}{x^{2}} \left(2 - 2 e^{- x}\right)\right)$$

Третья производная

           -x      -x     /     -x\
   -x   6*e     3*e     6*\1 - e  /
- e   - ----- - ----- + -----------
           2      x           3    
          x                  x     
-----------------------------------
                 x                 

$$\frac{1}{x} \left(- e^{- x} - \frac{3}{x} e^{- x} - \frac{6}{x^{2}} e^{- x} + \frac{1}{x^{3}} \left(6 - 6 e^{- x}\right)\right)$$