Производная exp(1/(x-1))

Вы ввели

   1  
 -----
 x - 1
e     

$$e^{\frac{1}{x - 1}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{1}{x - 1}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x - 1}$:

   1. Заменим $u = x - 1$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - 1\right)$:

      1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{e^{\frac{1}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{e^{\frac{1}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{e^{\frac{1}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}}$

Первая производная

    1   
  ----- 
  x - 1 
-e      
--------
       2
(x - 1) 

$$- \frac{e^{\frac{1}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

                1   
              ------
/      1   \  -1 + x
|2 + ------|*e      
\    -1 + x/        
--------------------
             3      
     (-1 + x)       

$$\frac{e^{\frac{1}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{3}} \left(2 + \frac{1}{x - 1}\right)$$

Третья производная

                             1    
                           ------ 
 /        1         6   \  -1 + x 
-|6 + --------- + ------|*e       
 |            2   -1 + x|         
 \    (-1 + x)          /         
----------------------------------
                    4             
            (-1 + x)              

$$- \frac{e^{\frac{1}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{4}} \left(6 + \frac{6}{x - 1} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)$$