Производная exp(x/sin(x))

Вы ввели

   x   
 ------
 sin(x)
e      

$$e^{\frac{x}{\sin{\left (x \right )}}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{x}{\sin{\left (x \right )}}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{\sin{\left (x \right )}}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right)$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{e^{\frac{x}{\sin{\left (x \right )}}}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{e^{\frac{x}{\sin{\left (x \right )}}}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

                       x   
                     ------
/  1      x*cos(x)\  sin(x)
|------ - --------|*e      
|sin(x)      2    |        
\         sin (x) /        

$$\left(- \frac{x \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}\right) e^{\frac{x}{\sin{\left (x \right )}}}$$

Вторая производная

/                   2                         \        
|    /     x*cos(x)\                          |    x   
|    |-1 + --------|                      2   |  ------
|    \      sin(x) /    2*cos(x)   2*x*cos (x)|  sin(x)
|x + ---------------- - -------- + -----------|*e      
|         sin(x)         sin(x)         2     |        
\                                    sin (x)  /        
-------------------------------------------------------
                         sin(x)                        

$$\frac{e^{\frac{x}{\sin{\left (x \right )}}}}{\sin{\left (x \right )}} \left(x + \frac{2 x \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - 1\right)^{2} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

 /                                                      /                      2   \                           \         
 |                    3                 /     x*cos(x)\ |    2*cos(x)   2*x*cos (x)|                           |         
 |     /     x*cos(x)\                3*|-1 + --------|*|x - -------- + -----------|                           |    x    
 |     |-1 + --------|         2        \      sin(x) / |     sin(x)         2     |                       3   |  ------ 
 |     \      sin(x) /    6*cos (x)                     \                 sin (x)  /   5*x*cos(x)   6*x*cos (x)|  sin(x) 
-|-3 + ---------------- - --------- + ---------------------------------------------- + ---------- + -----------|*e       
 |            2               2                           sin(x)                         sin(x)          3     |         
 \         sin (x)         sin (x)                                                                    sin (x)  /         
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                          sin(x)                                                         

$$- \frac{e^{\frac{x}{\sin{\left (x \right )}}}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{5 x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} + \frac{6 x \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - 1\right)^{3} + \frac{3}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - 1\right) \left(x + \frac{2 x \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}\right) - 3 - \frac{6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$