Производная exp(x)/x

Вы ввели

 x
e 
--
x 

$$\frac{e^{x}}{x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = e^{x}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(x e^{x} - e^{x}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{e^{x}}{x^{2}} \left(x - 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{e^{x}}{x^{2}} \left(x - 1\right)$

Первая производная

 x    x
e    e 
-- - --
x     2
     x 

$$\frac{e^{x}}{x} - \frac{e^{x}}{x^{2}}$$

Вторая производная

/    2   2 \  x
|1 - - + --|*e 
|    x    2|   
\        x /   
---------------
       x       

$$\frac{e^{x}}{x} \left(1 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}}\right)$$

Третья производная

/    6    3   6 \  x
|1 - -- - - + --|*e 
|     3   x    2|   
\    x        x /   
--------------------
         x          

$$\frac{e^{x}}{x} \left(1 - \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}}\right)$$