Производная exp(x/(x-1))

Вы ввели

   x  
 -----
 x - 1
e     

$$e^{\frac{x}{x - 1}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{x}{x - 1}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{x - 1}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = x - 1$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{e^{\frac{x}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{e^{\frac{x}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{e^{\frac{x}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}}$

Первая производная

                      x  
                    -----
/  1        x    \  x - 1
|----- - --------|*e     
|x - 1          2|       
\        (x - 1) /       

$$\left(- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x - 1}\right) e^{\frac{x}{x - 1}}$$

Вторая производная

                              x   
                            ------
/      x   \ /       x   \  -1 + x
|1 + ------|*|-1 + ------|*e      
\    -1 + x/ \     -1 + x/        
----------------------------------
                    2             
            (-1 + x)              

$$\frac{e^{\frac{x}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(\frac{x}{x - 1} + 1\right)$$

Третья производная

                                            x    
               /             2         \  ------ 
 /       x   \ |/       x   \     6*x  |  -1 + x 
-|-1 + ------|*||-1 + ------|  + ------|*e       
 \     -1 + x/ \\     -1 + x/    -1 + x/         
-------------------------------------------------
                            3                    
                    (-1 + x)                     

$$- \frac{e^{\frac{x}{x - 1}}}{\left(x - 1\right)^{3}} \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(\frac{6 x}{x - 1} + \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right)^{2}\right)$$