Производная e^(cos(x))^2

Вы ввели

    2   
 cos (x)
e       

$$e^{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$

  /    2   \
d | cos (x)|
--\e       /
dx          

$$\frac{d}{d x} e^{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos^{2}{\left(x \right)}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos^{2}{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   В результате последовательности правил:

   $- 2 e^{\cos^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

4. Теперь упростим:

   $- e^{\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}} \sin{\left(2 x \right)}$

---

Ответ:

$- e^{\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}} \sin{\left(2 x \right)}$

Первая производная

              2          
           cos (x)       
-2*cos(x)*e       *sin(x)

$$- 2 e^{\cos^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$

Вторая производная

                                              2   
  /   2         2           2       2   \  cos (x)
2*\sin (x) - cos (x) + 2*cos (x)*sin (x)/*e       

$$2 \cdot \left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) e^{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$

Третья производная

                                                             2          
  /         2           2           2       2   \         cos (x)       
4*\2 - 3*sin (x) + 3*cos (x) - 2*cos (x)*sin (x)/*cos(x)*e       *sin(x)

$$4 \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2\right) e^{\cos^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$

График