Производная e^(-cot(x))

Вы ввели

 -cot(x)
E       

$$e^{- \cot{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - \cot{\left (x \right )}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- \cot{\left (x \right )}\right)$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) e^{- \cot{\left (x \right )}}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{e^{- \frac{1}{\tan{\left (x \right )}}}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{e^{- \frac{1}{\tan{\left (x \right )}}}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

/       2   \  -cot(x)
\1 + cot (x)/*e       

$$\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) e^{- \cot{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

/       2   \ /       2              \  -cot(x)
\1 + cot (x)/*\1 + cot (x) - 2*cot(x)/*e       

$$\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} - 2 \cot{\left (x \right )} + 1\right) e^{- \cot{\left (x \right )}}$$

Третья производная

              /                 2                                     \         
/       2   \ |    /       2   \         2        /       2   \       |  -cot(x)
\1 + cot (x)/*\2 + \1 + cot (x)/  + 6*cot (x) - 6*\1 + cot (x)/*cot(x)/*e       

$$\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} - 6 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} + 6 \cot^{2}{\left (x \right )} + 2\right) e^{- \cot{\left (x \right )}}$$