Производная (e^(-1/x))-x

Вы ввели

 -1     
 ---    
  x     
E    - x

$$- x + e^{- \frac{1}{x}}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $- x + e^{- \frac{1}{x}}$ почленно:

   1. Заменим $u = - \frac{1}{x}$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- \frac{1}{x}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$

   4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Таким образом, в результате: $-1$

   В результате: $-1 + \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$

---

Ответ:

$-1 + \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Первая производная

      -1 
      ---
       x 
     e   
-1 + ----
       2 
      x  

$$-1 + \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$$

Вторая производная

          -1 
          ---
/     1\   x 
|-2 + -|*e   
\     x/     
-------------
       3     
      x      

$$\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{3}} \left(-2 + \frac{1}{x}\right)$$

Третья производная

              -1 
              ---
/    1    6\   x 
|6 + -- - -|*e   
|     2   x|     
\    x     /     
-----------------
         4       
        x        

$$\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{4}} \left(6 - \frac{6}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right)$$