Производная e^(-sin(x))*x

Вы ввели

 -sin(x)  
E       *x

$$e^{- \sin{\left (x \right )}} x$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = e^{\sin{\left (x \right )}}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $e^{\sin{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\left(- x e^{\sin{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )} + e^{\sin{\left (x \right )}}\right) e^{- 2 \sin{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\left(- x \cos{\left (x \right )} + 1\right) e^{- \sin{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\left(- x \cos{\left (x \right )} + 1\right) e^{- \sin{\left (x \right )}}$

Первая производная

 -sin(x)             -sin(x)
E        - x*cos(x)*e       

$$- x e^{- \sin{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )} + e^{- \sin{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

/                 2              \  -sin(x)
\-2*cos(x) + x*cos (x) + x*sin(x)/*e       

$$\left(x \sin{\left (x \right )} + x \cos^{2}{\left (x \right )} - 2 \cos{\left (x \right )}\right) e^{- \sin{\left (x \right )}}$$

Третья производная

/     2                                 3                       \  -sin(x)
\3*cos (x) + 3*sin(x) + x*cos(x) - x*cos (x) - 3*x*cos(x)*sin(x)/*e       

$$\left(- 3 x \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - x \cos^{3}{\left (x \right )} + x \cos{\left (x \right )} + 3 \sin{\left (x \right )} + 3 \cos^{2}{\left (x \right )}\right) e^{- \sin{\left (x \right )}}$$