Производная e^(-(sin(x))^2)

Вы ввели

     2   
 -sin (x)
E        

$$e^{- \sin^{2}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - \sin^{2}{\left (x \right )}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- \sin^{2}{\left (x \right )}\right)$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

         В результате последовательности правил:

         $2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

      Таким образом, в результате: $- 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- 2 e^{- \sin^{2}{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

4. Теперь упростим:

   $- e^{\frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} - \frac{1}{2}} \sin{\left (2 x \right )}$

---

Ответ:

$- e^{\frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} - \frac{1}{2}} \sin{\left (2 x \right )}$

Первая производная

               2          
           -sin (x)       
-2*cos(x)*e        *sin(x)

$$- 2 e^{- \sin^{2}{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$$

Вторая производная

                                               2   
  /   2         2           2       2   \  -sin (x)
2*\sin (x) - cos (x) + 2*cos (x)*sin (x)/*e        

$$2 \left(2 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \sin^{2}{\left (x \right )} - \cos^{2}{\left (x \right )}\right) e^{- \sin^{2}{\left (x \right )}}$$

Третья производная

                                                              2          
  /         2           2           2       2   \         -sin (x)       
4*\2 - 3*sin (x) + 3*cos (x) - 2*cos (x)*sin (x)/*cos(x)*e        *sin(x)

$$4 \left(- 2 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} - 3 \sin^{2}{\left (x \right )} + 3 \cos^{2}{\left (x \right )} + 2\right) e^{- \sin^{2}{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$$