Производная e^(-t)*cos(t)

Вы ввели

 -t       
E  *cos(t)

$$e^{- t} \cos{\left (t \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d t}\left(\frac{f{\left (t \right )}}{g{\left (t \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (t \right )}} \left(- f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}\right)$

   $f{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )}$ и $g{\left (t \right )} = e^{t}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d t} \cos{\left (t \right )} = - \sin{\left (t \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

   1. Производная $e^{t}$ само оно.

   Теперь применим правило производной деления:

   $\left(- e^{t} \sin{\left (t \right )} - e^{t} \cos{\left (t \right )}\right) e^{- 2 t}$

2. Теперь упростим:

   $- \sqrt{2} e^{- t} \sin{\left (t + \frac{\pi}{4} \right )}$

---

Ответ:

$- \sqrt{2} e^{- t} \sin{\left (t + \frac{\pi}{4} \right )}$

Первая производная

          -t    -t       
- cos(t)*e   - e  *sin(t)

$$- e^{- t} \sin{\left (t \right )} - e^{- t} \cos{\left (t \right )}$$

Вторая производная

   -t       
2*e  *sin(t)

$$2 e^{- t} \sin{\left (t \right )}$$

Третья производная

                      -t
2*(-sin(t) + cos(t))*e  

$$2 \left(- \sin{\left (t \right )} + \cos{\left (t \right )}\right) e^{- t}$$