Производная e^-x/(2+x)

Вы ввели

  -x 
 E   
-----
2 + x

$$\frac{e^{- x}}{x + 2}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = 1$ и $g{\left (x \right )} = \left(x + 2\right) e^{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x + 2$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x + 2$ почленно:

         1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      $g{\left (x \right )} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      В результате: $\left(x + 2\right) e^{x} + e^{x}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{e^{- 2 x}}{\left(x + 2\right)^{2}} \left(- \left(x + 2\right) e^{x} - e^{x}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{\left(x + 3\right) e^{- x}}{\left(x + 2\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{\left(x + 3\right) e^{- x}}{\left(x + 2\right)^{2}}$

Первая производная

    -x       -x   
   e        e     
- ----- - --------
  2 + x          2
          (2 + x) 

$$- \frac{e^{- x}}{x + 2} - \frac{e^{- x}}{\left(x + 2\right)^{2}}$$

Вторая производная

/      2        2    \  -x
|1 + ----- + --------|*e  
|    2 + x          2|    
\            (2 + x) /    
--------------------------
          2 + x           

$$\frac{e^{- x}}{x + 2} \left(1 + \frac{2}{x + 2} + \frac{2}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

 /      3        6          6    \  -x 
-|1 + ----- + -------- + --------|*e   
 |    2 + x          3          2|     
 \            (2 + x)    (2 + x) /     
---------------------------------------
                 2 + x                 

$$- \frac{e^{- x}}{x + 2} \left(1 + \frac{3}{x + 2} + \frac{6}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{6}{\left(x + 2\right)^{3}}\right)$$