Производная e^(-x-1)/x

Вы ввели

 -x - 1
E      
-------
   x   

$$\frac{1}{x} e^{- x - 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = e^{- x - 1}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = - x - 1$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- x - 1\right)$:

      1. дифференцируем $- x - 1$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         2. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         В результате: $-1$

      В результате последовательности правил:

      $- e^{- x - 1}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(- x e^{- x - 1} - e^{- x - 1}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{e^{- x}}{e x^{2}} \left(x + 1\right)$

---

Ответ:

$- \frac{e^{- x}}{e x^{2}} \left(x + 1\right)$

Первая производная

   -x - 1    -x - 1
  e         e      
- ------- - -------
     x          2  
               x   

$$- \frac{1}{x} e^{- x - 1} - \frac{1}{x^{2}} e^{- x - 1}$$

Вторая производная

/    2   2 \  -1 - x
|1 + - + --|*e      
|    x    2|        
\        x /        
--------------------
         x          

$$\frac{1}{x} \left(1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}}\right) e^{- x - 1}$$

Третья производная

 /    3   6    6 \  -1 - x 
-|1 + - + -- + --|*e       
 |    x    3    2|         
 \        x    x /         
---------------------------
             x             

$$- \frac{1}{x} \left(1 + \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}}\right) e^{- x - 1}$$