Производная e^(1/cos(x))

Вы ввели

   1   
 ------
 cos(x)
E      

$$e^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{1}{\cos{\left (x \right )}}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{\cos{\left (x \right )}}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{e^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}} \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{e^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}} \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

   1          
 ------       
 cos(x)       
e      *sin(x)
--------------
      2       
   cos (x)    

$$\frac{e^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}} \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                             1   
/       2           2   \  ------
|    sin (x)   2*sin (x)|  cos(x)
|1 + ------- + ---------|*e      
|       3          2    |        
\    cos (x)    cos (x) /        
---------------------------------
              cos(x)             

$$\frac{e^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}} + 1\right)$$

Третья производная

                                                  1          
/                2           2           2   \  ------       
|      3      sin (x)   6*sin (x)   6*sin (x)|  cos(x)       
|5 + ------ + ------- + --------- + ---------|*e      *sin(x)
|    cos(x)      4          3           2    |               
\             cos (x)    cos (x)     cos (x) /               
-------------------------------------------------------------
                              2                              
                           cos (x)                           

$$\frac{e^{\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}} \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}} + \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{4}{\left (x \right )}} + 5 + \frac{3}{\cos{\left (x \right )}}\right)$$