Производная e^(1/(5+x))

Вы ввели

   1  
 -----
 5 + x
E     

$$e^{\frac{1}{x + 5}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{1}{x + 5}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x + 5}$:

   1. Заменим $u = x + 5$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 5\right)$:

      1. дифференцируем $x + 5$ почленно:

         1. Производная постоянной $5$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{\left(x + 5\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{e^{\frac{1}{x + 5}}}{\left(x + 5\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{e^{\frac{1}{x + 5}}}{\left(x + 5\right)^{2}}$

Первая производная

    1   
  ----- 
  5 + x 
-e      
--------
       2
(5 + x) 

$$- \frac{e^{\frac{1}{x + 5}}}{\left(x + 5\right)^{2}}$$

Вторая производная

               1  
             -----
/      1  \  5 + x
|2 + -----|*e     
\    5 + x/       
------------------
            3     
     (5 + x)      

$$\frac{e^{\frac{1}{x + 5}}}{\left(x + 5\right)^{3}} \left(2 + \frac{1}{x + 5}\right)$$

Третья производная

                           1   
                         ----- 
 /       1         6  \  5 + x 
-|6 + -------- + -----|*e      
 |           2   5 + x|        
 \    (5 + x)         /        
-------------------------------
                   4           
            (5 + x)            

$$- \frac{e^{\frac{1}{x + 5}}}{\left(x + 5\right)^{4}} \left(6 + \frac{6}{x + 5} + \frac{1}{\left(x + 5\right)^{2}}\right)$$