Производная e^(1/x)

Вы ввели

x ___
\/ e 

$$e^{1 \cdot \frac{1}{x}}$$

d /x ___\
--\\/ e /
dx       

$$\frac{d}{d x} e^{1 \cdot \frac{1}{x}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{1}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Первая производная

  1 
  - 
  x 
-e  
----
  2 
 x  

$$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$$

Вторая производная

         1
         -
/    1\  x
|2 + -|*e 
\    x/   
----------
     3    
    x     

$$\frac{\left(2 + \frac{1}{x}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}$$

Третья производная

               1 
               - 
 /    1    6\  x 
-|6 + -- + -|*e  
 |     2   x|    
 \    x     /    
-----------------
         4       
        x        

$$- \frac{\left(6 + \frac{6}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{4}}$$

График