Производная (e^(1+x))/(x)

Вы ввели

 1 + x
E     
------
  x   

$$\frac{1}{x} e^{x + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = e^{x + 1}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x + 1$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 1\right)$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $e^{x + 1}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(x e^{x + 1} - e^{x + 1}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(x - 1\right) e^{x + 1}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2}} \left(x - 1\right) e^{x + 1}$

Первая производная

 1 + x    1 + x
e        e     
------ - ------
  x         2  
           x   

$$\frac{1}{x} e^{x + 1} - \frac{1}{x^{2}} e^{x + 1}$$

Вторая производная

/    2   2 \  1 + x
|1 - - + --|*e     
|    x    2|       
\        x /       
-------------------
         x         

$$\frac{1}{x} \left(1 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}}\right) e^{x + 1}$$

Третья производная

/    6    3   6 \  1 + x
|1 - -- - - + --|*e     
|     3   x    2|       
\    x        x /       
------------------------
           x            

$$\frac{1}{x} \left(1 - \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}}\right) e^{x + 1}$$